Limit Fungsi Trigonometri dan Limit Fungsi Tak Hingga

Verren Angelina Saputra August 02, 2021

 📌L I M I T   F U N G S I📌

-T R I G O N O M E T R I-

-T A K   H I N G G A-


I. PENDAHULUAN

        Halo sobat! Berjumpa kembali bersama aku Verren Angelina Saputra. Salam jumpa kembali pada blog pendidikan fisika dan matematika minat. Apa kabar kalian semua? Semoga kalian selalu dalam keadaan yang sehat dan semangat ya. Pada kesempatan kali ini, saya akan mengulas materi mengenai matematika minat. Bila sebelumnya kita sudah mempelajari materi listrik statis di kelas 12, sekarang ayo coba kita pelajari materi matematika minat tentang Limit Fungsi Trigonometri dan Limit Fungsi Tak Hingga.
        Sebelumnya di kelas 11, kita sudah mempelajari limit fungsi trigonometri di pelajaran matematika wajib bukan? Nah sekarang kita akan mempelajarinya lebih dalam lagi. Mungkin sekarang saya akan mengganti panggilan kalian menjadi sobat matematika dulu ya, ayo kita perhatikan denah pembelajaran kita di bawah ini.


            Semoga denah belajar di atas dapat membantu kalian semua untuk memahami pelajaran yang akan saya bawakan, tentunya kalian pasti mengetahui bahwa ilmu matematika juga tidak kalah penting dengan ilmu fisika dan berbagai ilmu lainnya. Konsep matematika bukan hanya bermanfaat dalam dunia pendidikan namun setiap permasalahan yang kita temui dalam kehidupan sehari hari juga dapat diatasi dengan konsep matematika. Sehingga mempelajari limit fungsi trigonometri akan menjadi sarana pendekatan kita terhadap ilmu tersebut.
           Konsep yang dibahas merupakan contoh sederhana dari materi limit fungsi dalam kehidupan sehari-hari. Jika belum terlalu paham atau kalian sudah lupa dengan materi yang diajarkan sebelumnya, jangan khawatir karena dalam blog ini saya akan menampilkan pembelajaran mengenai materi limit fungsi trigonometri secara perlahan langkah demi langkah secara rinci agar kalian dapat lebih mudah memahaminya.
        Namun, sebelum membahas tentang limit di keberhingaan fungsi trigonometri. Ayo kita coba kita ingat kembali teorema-teorema limit di keberhinggaan seperti yang ada di bawah ini. 

II. DEFINISI DAN SEJARAH

Keterangan :

L = Nilai f(x) untuk x mendekati a

a = besar sudut dalam radian

        Tahukah kalian bahwa limit fungsi trigonometri didefinisikan sebagai nilai paling dekat suatu sudut di dalam fungsi trigonometri atau bisa dikatakan apabila limit kiri sama dengan nilai limit kanan yang aturan penyelesaiannya bisa dilakukan dengan 4 metode penyelesaian layaknya limit fungsi aljabar, namun bedanya pada fungsi trigonometri haruslah diubah terlebih dahulu menjadi limit tak tentu.

        Adapun nama-nama trigonometri yang biasa kita gunakan adalah sinus (sin), tangen (tan), cosinus (cos), cotangen (cot), secan (sec), dan cosecan (csc). Dimana istilah ini pertama kali ditemukan oleh seorang matematikawan Yunani Hipparchus sekitar tahun 150 SM. Dan konsepnya dikembangkan lebih lanjut ke perhitungan oleh Matematikawan Yunani lainnya bernama Ptolemy di sekitar tahun 100. Pengembangan ilmu matematika terus dikembangkan dan akhirnya diuraikan kembali dalam bentuk tabel oleh seorang astronom muslim yang ahli matematika Al Battani atau kita kenal sebagai Bapak Dari Segala Ilmu Trigonometri.

        Sedangkan istilah limit dan penjabaran ilmunya pertama kali diperkenalkan oleh seorang pemuda bernama Bolzano di tahun 1817, sayangnya karya penemuannya tidak dikenal. Ilmu ini kemudian dikembangkan oleh Cauchy dalam karyanya yang berjudul Cours D'analyse pada tahun 1821 yaitu 4 tahun sesudah Bolzano merilis idenya. 
        Kita tahu bahwa ilmu pengetahuan akan selalu berkembangkan dan dikembangkan oleh peneliti selanjutnya, sama halnya dengan ide Bolzano yang dikembangkan oleh Cauchy dan ide Cauchy sendiri pun dikembangkan oleh peneliti selanjutnya karena dianggap intisari gagasan yang dicetuskan mengenai limit masih belum sistematis. Akhirnya di tahun 1908 seorang ahli matematika bernama Hardy merilis bukunya yang berjudul “A Course of Pure Mathematics” yang menjabarkan singkatan “lim” dengan anak panah untuk limit fungsi yang kita kenal hingga di zaman modern ini.

III. METODE LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI

        Penyelesaian fungsi trigonometri dibagi menjadi 4 metode yang harus digunakan berurutan supaya mempermudah perhitungannya, yaitu : (1) metode substitusi langsung ; (2) rasionalisasi dengan rumus dasar limit fungsi trigonometri ; (3) metode pemfaktoran ; dan (4) penyederhanaan fungsi trigonometri tersebut.

        Sehingga metode-metode ini mewajibkan kita untuk lebih hapal rumut trigonometri dari sudut istimewa sin, cos, tan, sec, cosecan, dan cot. 


1. SUBSTITUSI LANGSUNG 

        Jadi metode pertama yang akan kita pelajari adalah metode substitusi sobat, dimana metode ini dapat diterapkan dengan memasukkan (substitusi) / mengganti nilai x dengan angka yang ditentukan di dalam sebuah soal.

        Apabila bilangan yang disubstitusinya bernilai π, maka perlu kita ketahui bahwa π (phi) yang dimaksud bukanlah 22/7 atau 3,14 melainkan π sudut yang bernilai 180ᵒ.
        Nah kita juga perlu memahami sudut-sudut istimewa dari sin,cos,tan untuk 30ᵒ, 45ᵒ, 60ᵒ, dan 90ᵒ. Tapi tenang saja, dibawah ini sudah saya tampilkan mengenai tabel sudut istimewa. Ayo pahami dan hapalkan sudut-sudut dibawah ini supaya makin handal dalam mengerjakan soal limit fungsi trigonometri.

        Adapun contoh soal limit yang menggunakan metode substitusi langsung dapat kalian perhatikan pada gambar di bawah ini.

2. RUMUS DASAR TRIGONOMETRI

        Wah bagaimana sobat matematika? Pastinya masih sangat mudah bukan untuk mempelajari metode yang pertama. Nah sekarang kita akan membahas mengenai metode yang selanjutnya yaitu penggunaan rumusan dasar trigonometri. Jadi ada beberapa rumusan dasar mengenai limit fungsi trigonometri yang perlu kita pahami. Ayo baca rumusan dasar di bawah ini dan simak contoh soal dibawahnya.


        Untuk rumusan dasar sendiri memang juga sederhana karena kita hanya perlu paham konsep saja, nanti sin,cos,tan,sec,csc, dan cot akan kita eliminasi dan variabel pembilang dan penyebut akan menjadi jawaban dari limit fungsi trigonometri tersebut. 

3. PEMFAKTORAN

        Nah sobat sekarang kita akan masuk ke metode yang selanjutnya yaitu metode pemfaktoran, pasti anak anak IPA sudah jago dan memahami betul mengenai konsep pemfaktoran bukan? Dan pada limit pun kita juga akan gunakan metode ini untuk memfaktorkan persamaan dalam limit. Jika limitnya masih sederhana tentunya akan mudah diselesaikan, namun bila sudah masuk ke dalam soal pecahan yang menghasilkan nilai tak tentu seperti 0/0, ∞/ ∞, ∞ x ∞ bahkan - ∞ x ∞ pastinya hal ini akan sangat menyulitkan kita.

        Kita sudah tidak bisa lagi menggunakan metode substitusi langsung dan rumus dasar trigonometri sehingga harus difaktorkan antara persamaan di pembilang dan penyebut, supaya persamaan yang serupa bisa dieleminasi dan menghasilkan nilai tentu. Jadi trik pada metode ini adalah sobat harus membuang atau kita lenyapkan si pembuat nol dalam fungsi persamaan tersebut.


4. PENYEDERHANAAN LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI

        Tidak terasa kita sudah masuk ke metode yang terakhir yaitu metode limit fungsi trigonometri. Untuk langkah yang keempat, saya akan memberikan tipsnya kepada kalian yaitu pahamilah konsep rumus trigonometri dan identitas trigonometri yang sebelumnya sudah kalian pelajari baik di kelas 10 dan kelas 11 karena sangat berguna sekali untuk langkah keempat ini. Singkat dan mudah bukan tipsnya? Saya yakin kalian pasti paham mengenai rumus dan identitas fungsi trigonometri. Apabila kalian lupa, ayo pahami rumus dibawah ini.


IV. FUNGSI LIMIT TRIGONOMETRI DALAM KEHIDUPAN SEHARI-HARI

        Seperti yang saya sudah jelaskan sebelumnya, bahwa limit fungsi trigonometri bisa diterapkan dan bermanfaat dalam kehidupan sehari-hari kita sobat. Namun biasanya ilmu ini lebih sering diterapkan pada bidang fisika dan kedokteran.

- Misalnya dalam ilmu fisika, kita pasti pernah mempelajari mengenai alat optik. Nah, pemanfaatan fungsi limit trigonometri sangat bermanfaatan seperti seseorang yang mengalami permasalahan rabun jauh karena pembuatan kacamata jarak fokus lensa cekung dibentuk dengan bantuan konsep limit fungsi trigonometri.

- Selain itu, dalam menghitung rotasi bumi dan benda galaksi lainnya missal elips juga merupakan penerapan limit trigonometri.

- Dalam bidang kedokteran, limit fungsi trigonometri juga dapat dimanfaatkan untuk menghitung kerusakan jantung yang ditampilkan pada alat ultrasonografi (USG).

- Kemudian perpindahan kalor, kecepatan dan percepatan dalam ilmu fisika juga menggunakan konsep fungsi trigonometri. Dan masih banyak lainnya.


V. TRIGONOMETRI TAK HINGGA

        Selain limit fungsi trigonometri, kita juga akan membahas mengenai limit fungsi tak hingga yang didefinisikan dengan 3 kemungkinan pengertian, yakni :

-Apabila suatu limit f untuk x mendekati infinite (∞) sama dengan limit L.

-Apabila suatu limit f untuk x mendekati infinite (∞) sama dengan inifinite (∞).

-Apabila suatu limit f untuk x mendekati infinite (∞) sama dengan negative infinite (- ∞)

        Untuk menyelesaikan sebuah limit tak, hingga ada beberapa rumus cepat yang kita bisa gunakan untuk mempermudah perhitungan, yaitu rumus bentuk tak tentu untuk ∞/∞ dan bentuk tak tentu untuk ∞-∞. Ada metode dengan bentuk tak tentu pecahan dan bentuk tak tentu pengurangan.

        Dalam mengerjakan limit tak hingga pecahan, maka kita tips yang kita perlu sadari adalah memperhatikan setiap pangkat tertinggi dari masing-masing pembilang dan penyebut karena pangkat ini sangat berpengaruh. Ada 3 kemungkinan yang memungkinkan terjadi saat penyelesaian soal, yaitu (1) pangkat tertinggi pembilang lebih kecil dari pangkat tertinggi penyebut, (2) pangkat tertinggi pembilang sama dengan pangkat tertinggi penyebut, dan (3) pangkat tertinggi pembilang lebih tinggi dari pangkat tertingi penyebut.

      Apabila menggunakan langkah substitusi langsung dalam bentuk pengurangan, maka kita dapat menggunakan 2 cara, yaitu membaginya dengan pangkat tertinggi dan mengalikan dengan sekawan atau faktor lawan.

VI. BANK SOAL

    Rasanya kurang asik kalau belajar ilmu eksak tapi langsung coba mempraktekkan atau menghitung soalnya, rasanya kurang lengkap jika kita hanya hapal teori tanpa paham cara perhitungannya. Maka dari itu ayo kita latih diri kita untuk mengerjakan beberapa latihan soal yang ada di bawah ini supaya makin lancar matematikanya. Tenang saja, latihan soal di bawah ini juga sudah disertai kunci jawaban dan video pembahasan supaya kalian bisa lebih mahir. Semangat!

Maka penyelesaian yang ditemukan adalah sebagai berikut
Maka penyelesaian yang ditemukan adalah sebagai berikut
Maka penyelesaian yang ditemukan adalah sebagai berikut

Wah, mudah bukan? Jika kalian masih kurang paham, kalian dapat menonton video pembahasan di bawah ini.

VII. PENUTUP

        Tidak terasa kita sudah mempelajari seluruh materi mengenai limit fungsi trigonometri, mulai dari definisi dan sejarah asal mula trigonometri, metode penyelesaian, bank soal hingga pembahasannya. Meskipun materi yang disampaikan cukup banyak, tapi saya harap semoga blog kali ini bisa bermanfaat bagi kalian semua. Jangan lupa dibaca-baca kembali blog ini dan terus dukung saya dengan memberikan komentar positif yang membangun blog verrenangelina32. Salam hangat dari saya dan sampai jumpa di postingan blog selanjutnya, semoga harimu menyenangkan.

VIII. DAFTAR PUSTAKA

0 Comments